積分　1/(cosx )^4

$3$\displaystyle{\int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} { \cos }^{4}x \hspace{2}}dx }$

$3$\displaystyle{=\int $ { \tan }^{2}x+1 $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} { \cos }^{2}x \hspace{2}}dx }$ $3$\displaystyle{ $ {}^\bullet\limits{ }_\bullet {}^\bullet \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} { \cos }^{2}x \hspace{2}}={ \tan }^{2}x+1 $ }$

$3$\displaystyle{\tan x=t}$ とおいて置換積分を行う．

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} dt \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}={ $ \frac{\hspace{2} \sin x \hspace{2}}{\hspace{2} \cos x \hspace{2}} $ }^{\prime } }$ $3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2} { $ \sin x $ }^{\prime }\cos x- \sin x{ $ \cos x $ }^{\prime } \hspace{2}}{\hspace{2} { $ \cos x $ }^{2} \hspace{2}} }$ $3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2} { \cos }^{2}x+{ \sin }^{2}x \hspace{2}}{\hspace{2} { \cos }^{2}x \hspace{2}} }$ $3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} { \cos }^{2}x \hspace{2}} }$

となる．よって

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} { \cos }^{2}x \hspace{2}}dx=dt}$

となる．したがって

$3$\displaystyle{ \int $ { \tan }^{2}x+1 $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} { \cos }^{2}x \hspace{2}}dx }$ $3$\displaystyle{ =\int $ {t}^{2}+1 $ dt }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{t}^{3}+t+C }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{ \tan }^{3}x+\tan x+C }$

（ $3$\displaystyle{C}$ は積分定数）

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最終更新日： 2023年10月4日

積分 1/(cosx )^4

積分　1/(cosx )^4